В.М. Антонов, Л.М. Топтунова.

2.2.  Расчёт смещения излучения, содержащего доплеровскую и гравитационную компоненты

При исследовании воспринимаемого наблюдателем излучения газа, аккрецирующего из межгалактического пространства на ядро галактики, возникла необходимость определения величины красного смещения z, содержащего доплеровскую и гравитационную компоненты.

 В известной нам литературе рассмотрены в отдельности либо доплеровское, либо гравитационное красное смещение.

Для определения гравитационного красного смещения используется соотношение для частот

,                                                                        (1)

Где  и  ньютоновские гравитационные потенциалы в точках испускания и регистрации соответственно,   -  частота волны в точке приёма.

По поводу применимости формулы (1) часть авторов не приводит никаких ограничений [1-3]. В других случаях указывается на приближённый характер этой зависимости, однако из контекста можно понять, что ограничение налагается силой гравитационного поля
(«В линейном  относительно ньютоновского потенциала
 приближении
 
)» [4]).

Однако приближённый характер формулы (1) определяется не только тем, что она применима лишь к слабым гравитационным полям, но также тем, что эта формула носит локальный характер и её следует записывать в виде

.                                                                      (1a)

Действительно, применение формулы (1) даже в слабых гравитационных полях приводит к нарушению закона сохранения  энергии. Пусть фотон излучён в точке А и принят в точке В. Точки А и В симметричны относительно галактики С. Пусть на краю галактики гравитационный потенциал равен .

В точках А и В в силу симметрии потенциал одинаков и равен . Если в точке А частота фотона равна , то в С согласно (1) частота  равна

.

 Принимая эту частоту за исходную ( ), получаем в точке В такую частоту

 = .                                             (2)

Получается, что гравитационное поле уменьшило частоту фотона (), не совершая работы, ибо гравитационные потенциалы в исходной и конечной точках одинаковы.

Неприменимость формулы (1) к интервалам конечной длины можно установить, применив эту формулу к пути АВ минуя точку С. В этом случае получаем неизменную частоту

,

что противоречит (2).

Если нужно использовать формулу гравитационного изменения частоты излучения на больших промежутках, то от дифференциальной формы (1а) нужно переходить к интегральному виду формулы

                                                              (3)

Легко проверить, что при применении формулы (3) закон сохранения энергии не нарушается.

При расчёте гравитационной компоненты красного смещения будем основываться на формуле (3). Смещение  в спектре линии , равное - складывается из двух составляющих:
1) доплеровской
, где  – длина волны излучения движущегося атома в системе координат, связанной с наблюдателем;
2) гравитационной
, обусловленной действием гравитационного поля.

Итак,

                                                                   (4)

В силу этого красное смещение равно

+ = .                                               (5)

Учитывая, что =()/, а также соотношения для доплеровского красного смещения

,                                                               (6)

где      v – скорость движения излучающего атома,
            с – скорость света,
           
 – угол между направлением движения и лучом, идущим от наблюдателя,
 находим

                                                                  (7) 

Гравитационное смещение  происходит за счёт изменения энергии фотона, обусловленной работой сил гравитации. На элементарном пути  dR  изменение энергии фотона  (h – постоянная Планка) равно работе dA гравитационного поля на этом пути

dE = - dA.                                                                  (8)

Если фотон находится в глубине галактики на расстоянии R от центра галактики, то

,                                                              (9)

Где    - действующая  на фотон гравитационная сила;

   -  масса части галактики, заключённая в шаре радиуса R.

Из (8) и (9) следует

.

Интегрируя дифференциальное уравнение

,                                                  (10)

где   и   -  частоты волны в точке излучения и в точке приёма;

  и       -  расстояния от точки излучения и  от точки приёма до центра галактики,

находим частоту волны в точке приёма

.

Переходя от частоты    к длине волны ,   получаем

.                                                        (11)

С учётом определения (1) и формул (7) и (11),  получаем выражение для красного смещения  z, содержащего доплеровскую и гравитационную компоненты

.                                         (12)

Если излучение фотона произошло за пределом галактики, то галактику при расчётах можно рассматривать как точечную массу.  В этом случае формула (12) упрощается

.                                          (13)

Гравитационная компонента   в красном смещении (12) равна

                                  (14)

Отметим, что гравитационное красное смещение, полученное фотоном при наличии у него доплеровской компоненты  =()/,  отлично от гравитационного красного смещения   , приобретённого фотоном, излучённым покоящимся атомом с исходной длиной волны .

В самом деле,

,               .

Величины   и   связаны между собой соотношением

 .

Полное красное смещение z может быть выражено через любую из этих гравитационных составляющих

                                                                          (15a)

                                                             (15б)

Иногда формула (15б) может оказаться предпочтительнее, так как выражение для  проще

 ,

а в случае точечной массы

.

Следует иметь в виду, что формулы (1а) и (3) можно считать практически точными лишь для слабых гравитационных полей. Силу гравитационного поля, создаваемого точечной массой, можно охарактеризовать отношением   , где R  - расстояние до массы, а   - её гравитационный радиус. Точная формула для гравитационного красного смещения в гравитационном поле точечной массы любой напяжённости имеет вид

                                                      (16)

Проведенная нами проверка показала, что при   погрешность формулы (14) не превышает 5%. Для более сильных гравитационных полей в формулы (12) и (14) нужно вносить корректировку. Мы делали это, заменяя подинтегральную функцию  функцией  , где 

 ;
 ;   
 .                                                                                               (17)

 – гравитационный радиус массы .

При подинтегральной функции (17) погрешность формул (12) и (14) не превышает 5% для гравитационных полей силы . Более сильным полям соответствует большее значение коэффициента k.

 

Литература

  1. Засов А.В., Физика космоса, маленькая энциклопедия, М., «Советская энциклопедия», 1986, с.331.
  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля, II, «Наука», 1973, с.320.
  3. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д., Релятивистская астрофизика, М., «Наука», 1967, с.445.
  4. Теребиж В.Ю., Физическая энциклопедия, т.2, М., «Советская энциклопедия» , 1990, с.488.